Thalessatz in einer 7. Klasse Realschule

(Beispielstunde von M.G. im Rahmen der Betreuung des ISP im Fach Mathematik)

Klasse 7 der Keplerrealschule (Werkrealschule), Heidelberg, Wintersemester 2017/18

Als Dozent an der PH Heidelberg gehört es zu meinen Aufgabe, Studentinnen und Studenten im Schulpraktikum zu begleiten. In der Regel gebe ich im Rahmen dieser Betreuung selbst auch wenigstens eine Stunde. So kann ich die Dinge, die ich bzgl. der Unterrichtsgestaltung für wichtig halte, besser demonstrieren. Im Wintersemester 2017/18 durfte ich an der Keplerealschule in Heidelberg in einer 7. Klasse den Satz des Thales einführen.

Hier veröffentliche ich die Materialien zu dieser Stunde und erläutere gleichzeitig den Stundenablauf.

Tägliche Übung

Sinn und Zweck täglicher Übungen

Tägliche Übungen dienen der Reaktivierung grundlegenden Wissens und Könnens. Letzteres kann für den weiteren Verlauf der Stunde notwendig sein, muss es aber nicht. Tägliche Übungen im Mathematikunterricht lassen sich auch mit Aufwärmübungen im Sportunterricht vergleichen. Grundlegend kann man davon ausgehen, dass die Schülerinnen und Schüler (als auch die Studentinnen und Studenten in einer Lehrveranstaltung) zu Beginn der Stunde nach nicht mit vollster Konzentration bei der Sache sind. Wer sofort mit seiner „tollen Idee“ die Stunde beginnt, läuft Gefahr sein Pulver zu früh zu verschießen. Wenn die grundlegende Aufmerksamkeit bei den Schülerinnen und Schülern noch nicht da ist, ist die Gefahr sehr groß, dass diese Idee nicht angenommen wird, da die Konzentration der Schülerinnen und Schüler noch nicht hinreichend vorhanden ist. Grundsätzlich gilt: Langes Gerade am Anfang der Stunde ist kontraproduktiv. Kurze einfache unmissverständliche Aufgabenstellungen helfen, in die Stunde zu finden, Konzentration aufzubauen und eine grundlegende Arbeitsatmosphäre zu schaffen. Die Aufgaben sollten dabei derart gestaltet sein, dass alle Schülerinnen und Schüler die Aufgaben lösen können und damit in den Ersten 5 Minuten des Unterrichts bereits ein Erfolgserlebnis haben. Mit diesem Erfolgserlebnis im Rücken lässt sich dann das eigentliche Stundenziel leichter angehen.

Die spezielle tägliche Übung der Thalessatzstunde

Ich kannte die die Schülerinnen und Schüler der Klasse nur durch einige wenige Hospitationen in der Klasse, d.h. so gut wie gar nicht. Das fachliche Niveau war nicht allzu hoch, die Toleranzschwelle gegenüber Misserfolgen war sehr gering. Der Lärmpegel in der Klasse war häufig zu hoch, als dass er konzentriertes Arbeiten noch ermöglichte. Aus diesem Grunde entschied ich mich in Bezug auf die Aufgaben der täglichen Übung für ein Quiz. Zu jeder Frage wurden drei Antwortmöglichkeiten a), b) und c) vorgegeben. Die Schülerinnen und Schüler waren aufgefordert, die nach ihrer Meinung richtige Lösung mittels des jeweiligen Antwortbuchstabens zu notieren. Die Kontrolle der Lösungen erfolgte erst nach vollständiger Absolvierung des gesamten Quiz. Durch den absolut klaren Arbeitsauftrag und die Verlagerung der Diskussion zu den Lösungen erreichte ich eine ruhige und konzentrierte Arbeitsatmosphäre auf deren Grundlage die Lösungen des Quiz dann thematisiert werden konnten. Dadurch , dass eine der vorgeschlagenen Lösungen jeweils Unfug war, konnte ich eine spaßige Komponente in die tägliche Übung bringen. Letztlich mussten sich die Schülerinnen und Schüler nur zwischen zwei Lösungen entscheiden.

Aus fachlicher Sicht diente die tägliche Übung der Reaktivierung diverser Begriffe, ohne die der Satz des Thales nicht verstanden werden kann:

Durchmesser eines Kreises,
Winkel, Scheitelpunkt, Schenkel,
Nebenwinkel,
gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel, Basiswinkelsatz,
Nebenwinkel, Nebenwinkelsatz.

Zu diesen entsprechenden fachlichen Fragestellungen wurde ein Bezug zur Wiege der Geometrie, der Mathematik im antiken Griechenland hergestellt. Derartige Bezüge kommen bei Schülerinnen und Schülern der SI nach meinen Erfahrungen recht gut an. Ferner wollte ich über diesen Bezug und das Aufgreifen des damals nächsten großen Sportereignisses, die olympischen Winterspiele eine motivierende Komponente in den Unterricht einbauen. Bekannterweise waren die antiken Olympiaden nicht nur Sportwettkämpfe sondern es fanden auch Wettkämpfe in Geometrie und Literatur statt. Mehr zu dieser Motivierung im folgenden Abschnitt.

Hier zunächst der Link zur Aufgabenfolge der täglichen Übung. Für diese waren 8 Minuten vorgesehen.

Tägliche Übung der Stunde (PDF)Herunterladen

Motivierung und Zielorientierung

Den Abschluss der täglichen Übung bildeten Fragen zu den antiken olympischen Spielen. Es wird die Idee der Wettkämpfe in Mathematik aufgegriffen und die folgende Aufgabe gestellt:

Gegeben ist ein Halbkreis $k$ über dem Durchmesser $\overline{AB}$ . Man zeichne einen Peripheriewinkel von $k$ derart, dass seine Schenkel durch $A$ bzw. $B$ gehen.

Natürlich konnte ich in dieser Form den Schülerinnen und Schüler die Aufgabe nicht stellen. Ich demonstrierte der Klasse an der Tafel mehrfach was gemeint war und rief dann zum Wettbewerb auf: Konstruiere einen möglichst großen entsprechenden Winkel. Gültig sind nur Winkel, deren Scheitel auf dem Kreis $k$ liegt und ein Schenkel muss durch $A$ gehen und der andere durch $B$ . Wer den größten Winkel konstruiert hat, gewinnt den Wettbewerb. (Die Idee geht meines Wissens auf Werner Walsch zurück: https://de.wikipedia.org/wiki/Werner_Walsch.)

Für diesen Wettbewerb war ein Arbeitsblatt vorbereitet, auf dem die Schülerinnen und Schüler ihre Winkel einzeichneten.

Arbeitsblatt, Konstruktionswettbewerb.Herunterladen

Für das Konstruieren waren 5 Minuten vorgesehen. Nach etwa 3 Minuten wurde den Schülerinnen und Schülern immer mehr klar, dass wohl alle möglichen Winkel dieselbe Größe haben und rechte Winkel sind.

In Auswertung des Wettbewerbs erklärte ich den Schülerinnen und Schülern, dass einen sehr wichtigen Satz der Geometrie entdeckt hätten, den Satz des Thales. Bemerkungen zur Person Thales von Milet (https://de.wikipedia.org/wiki/Thales) und die Zielorientierung einer genaueren Beschäftigung mit dem Satz inklusive eines Beweises schlossen sich an.

Explizites Erarbeiten des Satzes

Grundlegende Bemerkung

Mit dem Konstruktionswettbewerb war ein grundlegendes Interesse der Schülerinnen und Schüler am Sachverhalt geweckt. Es ist klar, dass Siebtklässler nach diesen Konstruktionsübungen den Satz des Thales noch nicht vollständig verstehen konnten. Aus diesem Grunde schloss sich eine nochmalige Erarbeitung des Satzes an. Die bisherige Wettbewerbsübung kann der induktiven Satzerarbeitung zugeordnet werden. Der Satz wird wie etwa in den Naturwissenschaften durch Messreihen entdeckt, bzw. viele Einzelfälle werden ausgemessen und das Ergebnis mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit verallgemeinert. Grundlegend gilt hinsichtlich der Erarbeitung von Sätzen im Mathematikunterricht allegemeinbildender Schulen: Lege mit einer weiteren Methode nach.

Für die beschriebene Stunde entschied ich mich für eine funktionale Betrachtung:

Auf der Tafel ist ein Kreis $k$ mit seinem Mittelpunkt $M$ gegeben. $k$ ist der Umkreis eines Dreiecks $\overline{ABC}$ ist. Das Dreieck $\overline{ABC}$ wird dabei mittels dreier Magnete $A$ , $B$ und $C$ und eines geschlossenen Gummibandes realisiert.

Die Sehne $\overline{AB}$ ist unterhalb des Mittelpunktes $M$ :
Der Winkel $\gamma$ ist ein spitzer Winkel.

Die Sehne $\overline{AB}$ ist oberhalb des Mittelpunktes $M$ :
Der Winkel $\gamma$ ist ein stumpfer Winkel.

Die Sehne $\overline{AB}$ geht durch den Mittelpunktes $M$ :
Zwischen spitzem und stumpfem Winkel muss irgendwann der rechts Winkel kommen. Wahrscheinlich tritt dieser Fall ein, wenn $\overline{AB}$ ein Durchmesser ist.

Zur Zusammenfassung ihrer diesbezüglichen Betrachtungen füllten die Schülerinnen und Schüler das folgende Arbeitsplatz aus:

Arbeitsblatt zur funktionalen Betrachtung Herunterladen

Hier finden Sie eine Geogebra App zu dieser funktionalen Betrachtung (Der Punkt $A$ ist beweglich.) https://ggbm.at/gphfhrzz

Formulieren des Satzes und Arbeiten mit dem Satz

Formulieren des Satzes

Übliche Formulierungen des Thalessatzes sind etwa die folgenden:

Der Winkel im Halbkreis ist ein Rechter.
Jeder Peripheriewinkel (Umfangswinkel) über einem Durchmesser ist ein Rechter.
Es sei $k$ der Umkreis des Dreiecks $\overline{ABC}$ . Wenn die Seite $\overline{AB}$ durch den Mittelpunkt von $k$ geht (ein Durchmesser von $k$ ist), ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $C$ .

Die erste Formulierung ist griffig, aber aus formal mathematischer Sicht nicht exakt. Generell gilt, dass die Schülerinnen und Schüler der konkreten siebten Klasse mit allen Formulierungen nicht wirklich ein tiefgründiges Verständnis würden verbinden können. Der Satz des Thales war der erste Satz, mit dem die Schülerinnen und Schüler explizit konfrontiert wurden. Aus diesem Grunde entschied ich mich, den Satz in keiner der üblichen Formulierungen den Schülerinnen und Schülern darzubieten. Mehr als ein mechanisches Wiederkäuen des Satzes wäre bei diesem hinsichtlich der konkreten Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler sicher nicht möglich. Hinsichtlich eines wirklich inhaltlichen Verständnisses stellen wir die folgenden Überlegungen an:

Im Satz des Thales geht es um einen Winkel $\gamma = \angle ACB$ und einen Kreis $k$ . Kreis und Winkel müssen dabei zwei Bedingungen erfüllen.

Voraussetzung 1: Der Scheitel $C$ von $\gamma$ liegt auf dem Kreis $k$ .
Voraussetzung 2: Die Schenkel von $\gamma$ schneiden den Kreis $k$ in jeweils dem Punkt $A$ bzw. $B$ derart, dass $\overline{AB}$ ein Durchmesser von $k$ ist.

Behauptung: $\gamma$ ist ein rechter Winkel.

Das Wissen und Können der Schülerinnen und Schüler hinsichtlich eines exakten Gebrauchs der geometrischen Fachsprache war noch zu gering ausgebildet, als dass ich derartige Formulierungen in meiner Stunde hätte verwenden können. Aus diesem Grund entschied ich mich den Begriff der Thalessatzfigur zu verwenden. Thalessatzfiguren waren gerade die, die die Schülerinnen und Schüler in dem „Konstruktionswettkampf gezeichnet hatten.

Thalessatzfiguren bestehen aus einem Dreieck und einem Kreis. Der Kreis muss dabei der Umkreis des Dreiecks sein und die längste Seite des Dreiecks muss durch den Mittelpunkt des Kreises gehen.

Letztlich entschied ich mich für folgende Formulierung des Thalessatzes:

Der Satz des Thales:
In Thalessatzfiguren ist das Dreieck rechtwinklig.

Arbeit mit dem Satz

Hinsichtlich der Arbeit am Verständnis für den Thalessatz konzentriert sich die Arbeit auf den Begriff der Thalesatzfigur. Aus der Sicht der Begriffserarbeitung hatten wir den Begriff Thalessatzfigur durch den Konstruktionswettbewerb bereits konstruktiv (Begriffserarbeitung durch Realisieren) erarbeitet. Es bot sich an, das Verständnis für den Begriff der Thalessatzfigur (und damit für den Satz des Thales) durch Identifizierungsübungen zu vertiefen.

Hierzu gab ich den Schülerinnen und Schülern diverse Beispiele und Gegenbeispiele für Thalessatzfiguren vor. Die Schülerinnen und Schüler hatten zu entscheiden, in welchen Fällen eines Thalessatzfigur vorlag und in welchen Fällen nicht. Dieses passierte in selbständiger Schülertätigkeit. Im anschließenden Unterrichtsgespräch begründeten die Schülerinnen und Schüler ihre Entscheidungen. Um die sprachliche Gestaltung der Begründungen den Schülerinnen und Schüler zu erleichtern waren die entscheidenden Stücke in den entsprechenden Zeichnungen farbig gekennzeichnet:

Weil die blaue Strecke nicht durch den Mittelpunkt des Kreises geht, liegt keine Thalessatzfigur vor.

Weil der rote Punkt nicht auf dem Kreis liegt, handelt es sich nicht um eine Thalessatzfigur.

Weil die blaue Strecke ein Durchmesser ist und der rote Punkt auf dem kreis liegt, handelt es sich um eine Thalessatzfigur.

Da die sprachlich logische Schulung der Schülerinnen und Schüler zu wünschen übrig ließ, entschied ich mich für diese einfachen Varianten die Voraussetzungen des Thalessatzes zu beschreiben:

Voraussetzung 1: Die blaue Strecke geht durch den Mittelpunkt.
Voraussetzung 2: Der rote Punkt liegt auf dem Kreis.

Behauptung: Der Winkel beim roten Punkt hat die Größe 90°.

Für das entsprechende Arbeitsblatt waren folgende grundlegenden Fälle zu berücksichtigen:

Gegenbeispiele:

Typ 1: Der rote Punkt liegt auf dem Kreis. Die blaue Strecke ist jedoch kein Durchmesser des Kreises.
Typ 2: Die blaue Strecke ist ein Durchmesser des Kreises. Der rote Punkt liegt jedoch nicht auf dem Kreis.
Typ 3: Weder ist die blaue Strecke ein Durchmesser des Kreises, noch liegt der rote Punkt auf dem Kreis.

Typ 4: Weitere Eigenschaften sind nicht erfüllt. So könnte anstelle des Kreises eine beliebige Ellipse oder ein Oval verwendet worden sein.

Beispiele

Grundlegend müssen in den Beispielen natürlich alle Bedingungen des Thalessatzes erfüllt sein. Die Unterschiede in den Beispielen bestehen in den verschiedenen Lagen der entscheidenden Stücke der Thalessatzfiguren.

Typ 1: „Die kanonische Lage“: Die blaue Stecke ist parallel zur Unterseite des Arbeitsblattes. Der rote Punkt befindet sich oberhalb der blauen Strecke.

Typ 2: andere Lagen: Der rote Punkt ist unterhalb der blauen Strecke bzw. die blaue Strecke ist nicht parallel zu der Unterseite des Arbeitsblattes.

Typ 3: Der Sachverhalt des Thalessatzes ist in eine komplexere Figur eingebettet. So kann zum Beispiel ein Oval gewählt werden und die blaue Strecke ist ein Durchmesser eines der Halbkreise des Ovals. Der rote Punkt liegt auf diesem Halbkreis.

Das Arbeitsblatt

Identifizieren von Thalessatzfiguren Herunterladen

Beweisfindung

Vorbereitung

Die Beweisfindung war den zweiten 45 Minuten zugeordnet. Zwischen den beiden Stunden hatten die Schülerinnen und Schüler eine 5 Minütigen Pause, die ich der Klasse auch gönnen wollte. Das durchgängige konzentrierte Arbeiten der ersten 45 Minuten hinterließ schon Wirkung hinsichtlich der Konzentrationsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Eine Pause tat not.

Um die Schülerinnen und Schüler aus dem Pausenmodus zu holen, war es wieder nötig, mit einer Übung zu starten, welche gleichzeitig der Vorbereitung der Beweisfindung dienen sollte.

Hinsichtlich der Beweisführung war Folgendes zu reaktivieren:

Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.

Die entsprechende Übung mittels eines Arbeitsblattes zu gestalten wäre kontraproduktiv gewesen:

Es waren in der ersten Stunde schon zwei Arbeitsblätter im Einsatz gewesen.
Die Schülerinnen und Schüler waren durch die erste Stunde hinsichtlich konzentrierten Arbeitens extrem gefordert. Ein derartig konzentriertes und vielfältiges Arbeiten ist an den Schulen in Deutschland kaum noch üblich. Ich musste einplanen, die Übung ggf. abzubrechen, falls die Konzentrationsfähigkeit zu wünschen übrig ließ. Das wäre bei einem nicht vollständig bearbeiteten Arbeitsblatt kontraproduktiv für den weiteren Verlauf der Stunde gewesen. Aus diesem Grunde wählte ich eine Organisationsform, mit der ich flexibler auf die Arbeitsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler reagieren konnte.
Im weiteren Verlauf der Stunde war es unabdingbar weitere Arbeitsblätter einzusetzen. Es erschien sinnvoll, die Stunde nicht auch noch mit einem Arbeitsblatt zu beginnen.

Für die Übung entschloss ich mich, die Schülerinnen und Schüler die obigen Sätze (die ja zum Teil bereits in der ersten Stunde reaktiviert wurden) in Rechenübungen anwenden zu lassen. Hierzu konstruierte ich an der Tafel einen Kreis und generierte mittels dreier Magnete und einer Gummischlaufe entsprechende Dreiecke. Mit Kreide wurden Winkelgrößen eingetragen. Die Schülerinnen und Schüler hatten zu jeder einzelnen Teilaufgabe zu notieren. Hierdurch war jeder in der Klasse gezwungen, sich mit der jeweiligen Aufgabe zu beschäftigen.

Die Aufgaben der zweiten täglichen Übung

Innenwinkelsumme
- Es wurde eine Thalessatzfigur gespannt. Entsprechend der angegebenen Winkelgrößen hatten die Schülerinnen und Schüler zu entscheiden, ob das Dreieck existieren konnte, bzw. wie groß eine fehlende Winkelgröße ist. ( war jeweils der entsprechende Winkel über dem Durchmesser.
  - Beispiel 1: $\alpha =20^\circ, \beta = 20^\circ, \gamma = 90^\circ$ (Wegen der Winkelsumme kann dieses Dreieck nicht existieren.)
  - Beispiel 2: $\alpha =30^\circ, \beta = 50^\circ, \gamma = 91^\circ$ ( $\gamma$ müsste eine rechter Winkel sein. Außerdem wäre die Innenwinkelsumme nicht korrekt.)
  - Beispiel 3: $\alpha =35^\circ, \beta = 45^\circ, \gamma = ^\circ$ . ( $\gamma = 90^\circ$ wegen der Innenwinkelsumme und wegen des Satzes von Thales.)

Basiswinkelsatz
- Gegeben ist ein Kreis mit seinem Mittelpunkt . Ferner waren und zwei Punkte auf dem Kreis. .
  - Beispiel 1: $\alpha = 20^\circ, \beta = ?$ ( $20°\circ$ weil das Dreieck $\overline{AMB}$ wegen der Radien $\overline{MA}, \overline{MB}$ gleichschenklig ist.
  - Beispiel 2: $\delta= 40^\circ$ ( $\alpha$ und $\beta$ sind als Basiswinkel gleichgroß. Wegen der Innenwinkesumme bleiben für beide Winkel zusammen $120^\circ$ übrig. Jeder der beiden Winkel ist einzeln also $60^\circ$ groß.)
  - Beispiel 3:

Warum wurden die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleichfarbig gekennzeichnet?

Die Beweisfindung

Nach diesen Vorbereitungen kann der eigentliche Beweis erarbeitet werden. Der Beweis wurde im Unterrichtsgespräch erarbeitet. Hierzu arbeitet ich mit Applikationen an der Tafel mit einer speziellen Thalessatzfigur.

Der Winke bei $A$ und der Winkel bei $B$ wurde mit einer gleichfarbigen Applikation gekennzeichnet. Die Schülerinnen und Schüler erkannten, dass die Gleichfarbigkeit gewählt wurde, weil die Winkel als Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck $\overline{AMC}$ gleichgroß sind.

Analog wurde mit den Winkeln bei $B$ und $C$ verfahren.

Der Beweis wird hier dargestellt:

Sicherung des Beweises

Abschließend ließ ich die Schülerinnen und Schüler den Beweis inaktiv nachvollziehen. Hierzu bekamen sie das folgende Arbeitsblatt.

Enaktives Nachvollziehen des Beweises Herunterladen